Hva er kraften til nummeret

• Årsaker

Vær oppmerksom på at denne delen omhandler begrepet kun en grad med en naturlig indikator og null.

Konseptet og egenskapene til grader med rasjonelle eksponenter (med negativ og brøkdel) vil bli diskutert i leksjonene for klasse 8.

Så, la oss forstå hva som er kraften til nummeret. For å registrere produktet av selve nummeret på seg selv, bruk flere ganger den forkortede notasjonen.

I stedet for produktet av seks identiske faktorer 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 skriver de 4 6 og sier "fire til sjette grad".

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Uttrykket 4 6 kalles kraften til tallet hvor:

• 4 - grunnlaget for graden;
• 6 - eksponent.

Generelt er graden med basen "a" og indeksen "n" skrevet ved å bruke uttrykket:

Graden av tallet "a" med den naturlige indeksen "n", større enn 1, er produktet av "n" like faktorer, som hver er lik tallet "a".

Notatet "a n" er lest slik: "men til kraften til n" eller "nde kraften til tallet a".

Unntakene er poster:

• en 2 - det kan uttalt som "en kvadrert";
• en 3 - det kan uttalt som "men i en terning".

Selvfølgelig kan uttrykkene ovenfor leses for å bestemme graden:

• en 2 - "og i andre grad";
• en 3 - "og i tredje grad."

Spesielle tilfeller oppstår når eksponenten er en eller null (n = 1; n = 0).

Graden av tallet "a" med indeksen n = 1 er selve tallet:
a 1 = a

Et hvilket som helst tall i null-graden er en.
a 0 = 1

Null i en naturlig grad er null.
0 n = 0

Enheten til enhver grad er lik 1.
1 n = 1

Uttrykket 0 0 (null til null) betraktes som meningsløst.

Når man løser eksempler, må man huske at å øke til en kraft kalles å finne en numerisk eller alfabetisk verdi etter at den er oppdratt til en kraft.

Et eksempel. Raise til grad.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

Øker et negativt tall

Grunnlaget av graden (et tall som er hevet til en kraft) kan være et hvilket som helst tall - positivt, negativt eller null.

Når man øker til en kraft av et positivt tall, oppnås et positivt tall.

Når man bygger en null naturlig grad, oppnås null.

Når du øker et negativt tall til en kraft, kan resultatet enten være et positivt tall eller et negativt tall. Det avhenger av hvorvidt eksponenten er merkelig eller merkelig.

Vurder eksempler på å øke til kraften til negative tall.

Fra de betraktede eksemplene er det klart at dersom et negativt tall blir hevet til en oddetall, blir et negativt tall oppnådd. Siden produktet av et merkelig antall negative faktorer er negativt.

Hvis et negativt tall blir hevet til jevn strøm, oppnås et positivt tall. Siden produktet av et jevnt antall negative faktorer er positivt.

Et negativt tall oppdratt til en jevn strøm er et positivt tall.

Et negativt tall oppdratt til en oddetall er et negativt tall.

Torget i et hvilket som helst tall er et positivt tall eller null, det vil si:

en 2 ≥ 0 for noen a.

• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 · (-2) 3 = -5 · (-8) = 40

Vær oppmerksom på!

Når man løser eksponeringseksempler, gjør de ofte feil, og glemmer at oppføringene (-5) 4 og -5 4 er forskjellige uttrykk. Resultatene av eksponering av disse uttrykkene vil være forskjellige.

For å beregne (-5) 4 betyr å finne verdien av den fjerde effekten av et negativt tall.

Mens du finner "-5 4", betyr det at eksemplet må løses i to trinn:

1. Øk til fjerde kraft et positivt tall 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Sett minustegnet foran resultatet (det vil si, utfør subtraksjonshandlingen).
   -5 4 = -625

Et eksempel. Beregn: -6 2 - (-1) 4

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. -6 2 = -36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. - (- 1) 4 = -1
5. -36 - 1 = -37

Prosedyren i eksemplene med grader

Beregningen av verdien kalles eksponeringshandling. Dette er handlingen av det tredje trinnet.

I uttrykk med grader som ikke inneholder parenteser, utfører de først en kraft, deretter multipliserer og deler, og til slutt legger du til og trekker av.

Hvis det er braketter i uttrykket, først i ovennevnte rekkefølge, utfør handlingene i parentes, og deretter gjenværende handlinger i samme rekkefølge fra venstre til høyre.

For å lette løsningen av eksempler, er det nyttig å vite og bruke gradertabellen, som du kan laste ned gratis på vår nettside.

For å sjekke resultatene dine kan du bruke kalkulatoren for elektronisk gradering på vår nettside.

Nummergrad: definisjoner, betegnelse, eksempler.

I denne artikkelen vil vi forstå hva som er graden av nummeret. Her vil vi gi definisjoner av graden av et tall, med et detaljert titt på alle mulige indikatorer på graden, som starter med den naturlige indikatoren og slutter med det irrasjonelle. I materialet finner du mange eksempler på grader som dekker alle de finesser som oppstår.

Naviger på siden.

Grad med en naturlig indikator, firkantetall, kube av nummer

Til å begynne med vil vi gi en definisjon av graden av et tall med en naturlig indeks. Når vi ser fremover, sier vi at definisjonen av graden av a med en naturlig indeks n er gitt for et reelt tall a, som vi vil kalle grunnlaget for graden, og et naturlig tall n som vi vil ringe til eksponenten. Vi merker også at graden med den naturlige indeksen bestemmes gjennom produktet, slik at for å forstå materialet under, må du ha en ide om multiplikasjon av tall.

Graden av a med en naturlig indeks n er et uttrykk for formen a n, hvis verdi er lik produktet av n faktorer, som hver er lik a, det vil si.
Spesielt er graden av a med indeks 1 tallet a selv, det vil si en 1 = a.

Fra denne definisjonen er det klart at ved hjelp av en grad med en naturlig indeks kan man skrive ned arbeidene med flere identiske faktorer. For eksempel kan 8 · 8 · 8 · 8 skrives som en grad 8 4. Dette er analogt med hvordan summen av identiske termer er skrevet ved hjelp av et arbeid, for eksempel 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (se artikkelen generell ide om multiplikasjon av naturlige tall).

Umiddelbart bør det sies om regler for lese grader. Den universelle måten å lese en n-plate på er: "a til kraften til n". I noen tilfeller kan slike varianter også aksepteres: "a til nth grad" og "nte kraft av tallet a". For eksempel, ta klasse 8 12, dette er "åtte til kraften til tolv", eller "åtte til tolvte kraft", eller "den tolvte kraften av åtte".

Den andre graden av nummeret, samt den tredje graden av nummeret har egne navn. Den andre kraften til tallet kalles kvadratet av tallet, for eksempel 7 leser som "syv kvadrert" eller "kvadrat av tallet sju". Den tredje kraften til et tall kalles en kube av et tall, for eksempel kan 5 3 leses som "fem i en terning" eller si "en kube av nummeret 5".

Det er på tide å gi eksempler på grader med naturlige indikatorer. La oss starte med graden 5 7, her er 5 grunnlaget for graden, og 7 er eksponenten. La oss gi et annet eksempel: desimalfraksjonen på 4,32 er basen, og det positive heltallet 9 er en eksponent (4,32) 9.

Legg merke til at i det siste eksemplet er bunnen av graden 4.32 skrevet i parentes: For å unngå uoverensstemmelser vil vi ta alle grunnlagene i graden i parenteser som er forskjellige fra naturlige tall. Som et eksempel gir vi følgende grader med naturlige indikatorer, deres baser er ikke naturlige tall, så de er skrevet i parentes. Vel, for fullstendig klarhet i dette øyeblikket, viser vi forskjellen i registret av skjemaet (-2) 3 og -2 3. Uttrykket (-2) 3 er graden av det negative tallet -2 med den naturlige indeksen 3, og uttrykket -2 3 (det kan skrives som - (2 3)) tilsvarer tallet motsatt verdien av graden 2 3.

Merk at det er en notasjon for graden av a med indeks n av skjemaet a ^ n. Videre, hvis n er et multivalgt positivt heltall, blir eksponenten tatt i parentes. For eksempel er 4 ^ 9 en annen oppføring av grad 4 9. Her er noen flere eksempler på innspilling av grader ved hjelp av "^" -symbolet: 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). I det følgende vil vi hovedsakelig bruke notasjonen for graden av skjemaet a n.

Ovennevnte definisjon gjør det mulig å finne verdien av graden med en naturlig indikator. For å gjøre dette, beregne produktet av n like faktorer som er lik a. Dette emnet fortjener detaljert vurdering i en egen artikkel - se eksponering med en naturlig indikator.

En av oppgavene, invers av konstruksjonen med en naturlig indikator, er problemet med å finne grunnlaget for en grad med en kjent verdi av en grad og en kjent indikator. Denne oppgaven fører til begrepet rot fra et nummer.

Det er også verdt å utforske egenskapene til en grad med en naturlig indeks, som følger av denne definisjonen av graden og egenskapene til multiplikasjon.

Grad med heltall

Etter at vi har bestemt graden av a med en naturlig indeks, oppstår et logisk ønske om å utvide begrepet grad og gå videre til graden av et tall, hvorav et helt tall, inkludert negativt og null, vil være en indikator. Dette skal gjøres på en slik måte at alle egenskaper av en grad med en naturlig indeks forblir gyldige, siden naturlige tall er en del av heltall.

Graden av a med et positivt heltall er ikke noe mer enn kraften til a med en naturlig eksponent: hvor n er et positivt heltall.

Nå definerer vi nullkraften til a. La oss gå videre fra egenskapen til delvise krefter med samme grunnlag: for de naturlige tallene m og n, m m: n n = a m - n (tilstanden a ≠ 0 er nødvendig, fordi ellers ville vi ha divisjon med null). For m = n, fører den skriftlige likheten til følgende resultat: a n: n n = a n - n = a 0. Men på den annen side er et n = n som en kvotient med like tall a n og en n. Derfor må vi akseptere en 0 = 1 for alle ikke-ekte reelle tall a.

Men hva med null til null grad? Tilnærmingen brukt i forrige avsnitt er ikke egnet for denne saken. Vi kan huske egenskapen til produktet av grader med de samme basene en m · n n = a m + n, spesielt når n = 0, har vi en m · a 0 = a m (denne likheten viser også at en 0 = 1). For a = 0 får vi likestilling 0 m · 0 0 = 0 m, som kan skrives om som 0 = 0, det gjelder for ethvert naturlig m, uansett hva verdien av uttrykket 0 0 er lik. Med andre ord kan 0 0 være lik alle tall. For å unngå denne tvetydigheten vil vi ikke tilordne null til nullskraften (av samme grunner, da vi studerte divisjon, ga vi ikke mening til uttrykket 0: 0).

Det er lett å sjekke at den avgjørelsen vi har likestilling a 0 = 1 for ikke-null heltall en eiendom i samsvar med grad i grad (en m) n = a m · n. Faktisk, når n = 0, har vi (en m) 0 = 1 og en m- 0 = a 0 = 1, og når m = 0, har vi (a 0) n = 1 n = 1, og en 0 ° N = a 0 = 1.

Så vi kom til definisjonen av en grad med null-indikator. Graden av en med null eksponent (et ikke-null reelt tall) er en, det vil si en 0 = 1 for en ≠ 0.

La oss gi eksempler: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1, og 0 0 er ikke definert.

Nulgraden til tallet a bestemmes, det gjenstår for å bestemme tallet negativ grad av tallet a. Dette vil hjelpe oss med alle samme egenskaper av produktet av grader med de samme basene en m · a n = a m + n. Anta m = n, som krever betingelser for en ≠ 0, deretter en -n · a n = a-n + n = a 0 = 1, hvorfra det konkluderes med at en n, og a-N - inverse tall. Således er det logisk å definere tallet a til heltal negativ grad -n som en brøkdel. Det er enkelt å verifisere at i denne stilling kan graden av en ikke-null nummer en med en negativ indeks av alle egenskaper forblir sann grad med naturlig indikator (se egenskaper med en grad indikator), til hvilken vi håpet på.

La oss lyde definisjonen av en grad med en hel negativ indeks. Graden av a med et negativt heltall -n (et ikke-null ekte tall) er en brøkdel, det vil si med en ≠ 0 og et positivt heltall n.

Vurder denne definisjonen av en grad med et negativt heltall på spesifikke eksempler :.

Oppsummer informasjonen til dette elementet.

Graden av a med et heltall z er definert som:

Grad med en rasjonell indikator

Fra heltalleksponenter av tallet a, viser overgangen til en rasjonell indikator seg selv. Nedenfor definerer vi en grad med en rasjonell indikator, og vi vil gjøre det på en slik måte at alle egenskapene til graden med hele indikatoren blir bevart. Dette er nødvendig fordi heltall er en del av rasjonelle tall.

Det er kjent at mengden av rasjonale tall består av hel og brøktall, hvor hver brutt tall kan representeres som en positiv eller negativ felles fraksjon. Grad med et mål på vi identifisert i det foregående avsnitt, så for å fullføre bestemmelsen av graden med rasjonell eksponent, er det nødvendig å forstå graden av en fraksjonert eksponent m / n, hvor m - det hele tall og n - naturlig. La oss gjøre det.

Vurder en grad med en brøkdel eksponent. For at eiendommen til en grad skal kunne holdes, må likestilling være oppfylt. Hvis vi tar hensyn til den oppnådde likestillingen og hvordan vi fastslår roten til nth-graden, er det logisk å akseptere, forutsatt at for gitt m, n og a, gir uttrykket mening.

Det er enkelt å verifisere at alle egenskapene til en grad med en heltallindikator er gyldige (dette gjøres i delen om egenskaper av en grad med en rasjonell indikator).

Ovennevnte resonnement tillater oss å gjøre følgende konklusjon: Hvis for gitt m, n og a, gir uttrykket mening, så er graden av a med en brøkdel indeks m / n roten til nth-graden fra a til grad m.

Denne setningen bringer oss nært til definisjonen av en grad med en brøkdeleksponent. Det gjenstår bare å skrive, for hvilket m, n og et gir mening. Avhengig av begrensningene på m, n og a, er det to grunnleggende tilnærminger.

Det er lettest å pålegge en begrensning på a, ta a≥0 for positiv m og a> 0 for negativ m (siden for m≤0 er graden 0 m ikke definert). Da får vi følgende definisjon av en grad med en brøkdeleksponent.

Graden av et positivt tall a med en brøkdel indeks m / n, hvor m er et heltall og n er et positivt heltall, kalles nde rotten av a til kraften til m, det vil si.

Fraksjonalgraden av null bestemmes også med den eneste reservasjonen at indikatoren skal være positiv.

Graden av null med en brøk positiv positiv indeks m / n, hvor m er et positivt heltall og n er et positivt heltall, defineres som.
Når graden ikke er bestemt, det vil si, graden av tallet null med en brøkdelig negativ indikator gir ikke mening.

Det skal bemerkes at med en slik definisjon av en grad med en fraksjonal eksponent er det en nyanse: for noen negative a og noen m og n, er uttrykket fornuftig, og vi har kassert disse tilfellene ved å skrive inn tilstanden a≥0. For eksempel er det fornuftig å skrive eller, og definisjonen gitt ovenfor gjør at vi sier at grader med en brøkdel av en art ikke gir mening fordi grunnlaget ikke bør være negativt.

En annen tilnærming til å bestemme en grad med en brøkdel m / n er å vurdere selv og odde rotindekser separat. Denne tilnærmingen krever en ytterligere betingelse: graden av tallet a, indikatoren av hvilken er en redusert brøkdel, betraktes som graden av tallet a, indikatoren er den tilsvarende irredusible fraksjonen (vi vil forklare betydningen av denne tilstanden like nedenfor). Det vil si, dersom m / n er en irreducible fraksjon, så for noe naturlig tall k, er graden erstattet av.

For enda n og m er positive uttrykk meningsfull for en hvilken som helst ikke-negativt et (selv grad roten av et negativt tall ikke fornuftig), med et negativt tall m bør være mer enn null (ellers vil det dividere med null). Og for odde n og m et positivt tall, kan være en hvilken som helst (root odde grad som er definert for et reelt tall), og når et negativt tall m bør være ikke-null (for å unngå å dele med null).

Ovennevnte resonnement fører oss til en slik definisjon av en grad med en fraksjonal eksponent.

La m / n være en irreducible fraksjon, m være et heltall, og n være et positivt heltall. For noen nedbrytbar brøkdel, er graden erstattet av. Graden av a med irreducible fraksjonal eksponent m / n er for

• et hvilket som helst reelt tall a, et positivt heltall m og et merkelig positivt heltall n, for eksempel;
• et hvilket som helst ikke-null ekte tall a, en helt negativ m, og en merkelig n, for eksempel;
• et hvilket som helst ikke-negativt tall a, heltall positiv m og til og med n, for eksempel;
• noen positive a, heltall negative m og til og med n, for eksempel;
• I andre tilfeller er graden med en fraksjonal eksponent ikke definert, for eksempel er graden ikke definert.

Vi forklarer hvorfor en grad med en kansellerbar fraksjonal eksponent er foreløpig erstattet av en eksponent med en irreducible eksponent. Hvis vi ganske enkelt definert som graden, og ikke angitt på irreducibility for m / n-fraksjon, ville vi stå overfor en situasjon som ligner på den følgende: siden 6/10 = 3/5, deretter likhet, men heller.

Merk at den første definisjonen av en grad med en brøkdel er enklere å bruke enn den andre. Derfor vil vi bruke det i fremtiden.

graden av den positivt tall en fraksjonert eksponent m / n vi definerer som negativ for en registrering vi ikke legge noen mening, graden av null, vi definere for de positive fraksjon eksponenter m / n som for negativ fraksjonert eksponent på null er ikke definert.

I konklusjonen av dette avsnittet trekker vi oppmerksomhet på at fraksjonal eksponenten kan skrives i form av en desimalfraksjon eller et blandet tall, for eksempel. For å beregne verdiene av uttrykk av denne typen, må du skrive eksponenten i form av en vanlig fraksjon, og deretter bruke definisjonen av en grad med en brøkdeleksponent. For de angitte eksemplene har vi og.

Grad med en irrasjonell og gyldig indikator

Det er kjent at settet av reelle tall kan betraktes som forening av settene av rasjonelle og irrasjonelle tall. Derfor kan en grad med en gyldig indikator anses som definert når en grad med en rasjonell indikator og en grad med en irrasjonell indikator er bestemt. Vi snakket om graden med en rasjonell indikator i forrige avsnitt, det gjenstår å håndtere graden med en irrasjonell indikator.

Begrepet graden av a med en irrasjonell indeks vil bli nærmet seg gradvis.

La være en sekvens av desimale tilnærminger til et irrasjonsnummer. For eksempel, ta et irrasjonelt nummer, så kan du godta, eller, etc. Det er verdt å merke seg at tallene er rasjonelle.

Sekvensen av rasjonelle tall korresponderer med en sekvens av grader, og vi kan beregne verdiene av disse grader på grunnlag av materialet i artikkelen som øker til en rasjonell grad. For eksempel, ta a = 3, og deretter, og etter å ha økt til en kraft, oppnår vi.

Til slutt konvergerer sekvensen til et bestemt tall, som er verdien av kraften til a med en irrasjonell eksponent. La oss gå tilbake til vårt eksempel: En grad med en irrasjonell indikator på skjemaet konvergerer til et tall som er lik 6,27 med en nøyaktighet på ett hundre.

Graden av et positivt tall a med en irrasjonell indeks er et uttrykk hvis verdi er lik grensen til sekvensen, hvor er det påfølgende desimaltegn av irrasjonsnummeret.

Graden av tallet null er bestemt for positive irrasjonelle indikatorer, med dette. For eksempel,. Og graden av tallet 0 med en negativ irrasjonell indikator er ikke bestemt, for eksempel, er ikke definert.

Separat er det nødvendig å si om den irrasjonelle graden av enheten - enheten i en irrasjonell grad er lik 1. For eksempel, og.

Røtter og grader

grad

Graden er et uttrykk for skjemaet: hvor:

• - grunnlaget for graden;
• - eksponent

Grad med en naturlig indikator

Vi definerer begrepet en grad hvis indeks er et naturlig tall (det vil si et heltall og en positiv).

1. Per definisjon :.
2. Å firkantet et tall er å formere det i seg selv:
3. Å bygge et tall i en terning betyr å multiplisere det selv tre ganger :.

Å heve et tall til den naturlige graden betyr å multiplisere nummeret i seg selv igjen:

Grad med heltall

Hvis eksponenten er et positivt heltall:

, n> 0

Høyd til null grad:

, a ≠ 0

Hvis eksponenten er et negativt heltall:

, a ≠ 0

Merk: uttrykket er ikke definert, i tilfellet n ≤ 0. Hvis n> 0, så

Grad med en rasjonell indikator

• a> 0;
• n er et naturlig tall;
• m er et heltall;

Egenskaper av grader

root

Aritmetisk kvadratrot

Ligningen har to løsninger: x = 2 og x = -2. Disse er tall hvis firkant er 4.

Vurder ligningen. La oss tegne en graf av funksjonen og se at denne ligningen også har to løsninger, en positiv, den andre negative.

Men i dette tilfellet er løsningene ikke heltall. Videre er de ikke rasjonelle. For å skrive ned disse irrasjonelle avgjørelsene, introduserer vi en spesiell kvadratrot karakter.

Den aritmetiske kvadratroten er et ikke-negativt tall, hvor kvadratet er, en ≥ 0. Når a

Graden og dens egenskaper. Degree bestemmelse

Seksjoner: Matematikk

Å fortelle studentene om egenskapene til grader med naturlige indikatorer og lære å utføre handlinger med grader.

Emnet "Graden og dens egenskaper" inneholder tre spørsmål:

• Bestemmelse av graden med en naturlig indikator.
• Multiplikasjon og deling av krefter.
• Øke graden av produktet og graden.

Formuler en definisjon av en grad med en naturlig indeks større enn 1. Gi et eksempel.

Formuler definisjonen av en grad med indikatoren 1. Gi et eksempel.

Hva er rekkefølgen av handlinger når du beregner verdien av et uttrykk som inneholder en grad?

Formuler den grunnleggende egenskapen til en grad. Gi et eksempel.

Formuler regel for multiplikasjon av grader med de samme basene. Gi et eksempel.

Formuler regelen om å dele grader med de samme basene. Gi et eksempel.

Formuler en regel for graden av arbeid. Gi et eksempel. Bevis identiteten (ab) n = a n • b n.

Formuler en gradeksponeringsregel. Gi et eksempel. Bevis identiteten (a m) n = a m n.

Graden av a med en naturlig indeks n større enn 1 er produktet av n faktorer, som hver er a. Graden av a med indeks 1 er tallet a selv.

Graden med base a og indeks n er skrevet som følger: a n. Les "a til kraften til n"; "N-th kraft av en".

Per definisjon, en grad:

Å finne en gradersverdi kalles eksponering.

1. Eksempler på eksponering:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Tenk deg i form av et kvadratnummer: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Presentere i form av en terning tallene:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Finn verdier av uttrykk:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Skriv arbeidet som en grad:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Present i form av et firkantet nummer:

3. Presentere i form av en terning tallene:

4. Finn verdier av uttrykk:

For alle tall a og vilkårlig tall m og n:

a m a n = a m + n.

Regel: Ved multiplikasjon av grader med de samme basene blir basene uendret, og eksponentene blir lagt sammen.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Presentere som en grad:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Presentere som en grad og finn verdien i tabellen:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Presentere som en grad:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) en 6 • en 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Presentere som en grad og finn verdien i tabellen:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

For et hvilket som helst tall a 0 og vilkårlig positivt heltall m og n, slik at m> n er sant:

en m: n n = a m - n

en m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

per definisjon privat:

en m: n n = a m - n.

Regel: Når du deler grader med de samme basene, blir basen ligget det samme, og divisor-graden trekkes fra eksponenten.

Definisjon: Graden av en ikke lik null, med en null eksponent som er lik en:

Tall. Graden av nummeret.

Det er et velkjent faktum at summen av flere like komponenter kan bli funnet ved hjelp av multiplikasjon. For eksempel: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Et slikt uttrykk sies å være summen av like komponenter omdannet til et produkt. Og omvendt, hvis vi leser denne likestillingen fra høyre til venstre, får vi at vi har utvidet summen av like vilkår. På samme måte kan man kollapse produktet av flere like faktorer 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Det er, i stedet for å multiplisere seks identiske faktorer på 5x5x5x5x5x5, skriver de 5 6 og sier "fem til sjette grad".

Uttrykket 5 6 er kraften til tallet hvor:

5 - grunnlaget for graden;

6 - eksponent.

Handlingene der produktet av like faktorer er minimert til en kraft kalles eksponering.

Generelt er graden med basen "a" og indeksen "n" skrevet som

Å øke tallet a til kraften til n betyr å finne produktet av n faktorer, som hver er a

Hvis bunnen av graden "a" er 1, er verdien av graden for en hvilken som helst naturlig n 1. For eksempel er 1 5 = 1, 1 256 = 1

Hvis vi øker tallet "a" til første grad, får vi tallet a selv: a 1 = a

Hvis vi øker et tall til nullgraden, så får vi en som følge av beregningene. a 0 = 1

Spesiell vurdere andre og tredje grad tall. For dem kom opp med navnet: Den andre graden kalles kvadratet av nummeret, den tredje - kuben av dette nummeret.

Et hvilket som helst tall kan heves til en kraft - positiv, negativ eller null. Det bruker ikke følgende regler:

-ved å finne graden av et positivt tall, oppnås et positivt tall.

-Når vi beregner null i naturlig grad, får vi null.

- når du beregner graden av et negativt tall, kan resultatet være både et positivt tall og et negativt tall. Det avhenger av hvorvidt eksponenten er merkelig eller merkelig.

Hvis vi løser noen få eksempler på å beregne graden av negative tall, viser det seg at hvis vi beregner en merkelig grad av et negativt tall, blir resultatet et tall med et minustegn. Siden, når vi multipliserer det odde antallet negative faktorer, oppnår vi en negativ verdi.

Hvis vi beregner en jevn grad for et negativt tall, blir resultatet et positivt tall. Siden vi når en jevn antall negative faktorer, får vi en positiv verdi.

Egenskaper grad med en naturlig indikator.

For å formere grader med de samme basene, endrer vi ikke basene, og legger til eksponenter av grader:

for eksempel: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

For å skille grader med de samme basene, endrer vi ikke basen, men trekker eksponentene ut:

for eksempel: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Når vi beregner graden eksponering, endrer vi ikke basen, og multipliserer eksponenter av grader.

for eksempel: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Hvis det er nødvendig å beregne ereksjonen til graden av produktet, blir hver faktor hevet til denne graden.

for eksempel: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Når vi utfører beregninger på konstruksjonen av en brøkdel, øker vi tellingenes og nevnerens brøkdel til denne kraften.

for eksempel: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Sekvensen av beregninger når du arbeider med uttrykk som inneholder en grad.

Når du utfører beregninger, gir uttrykk uten parentes, men inneholdende grader, først og fremst eksponering, multipliserer og deler handlinger, og legger bare til og trekker ut operasjoner.

Hvis det er nødvendig å beregne et uttrykk som inneholder parenteser, så først i rekkefølgen som er spesifisert ovenfor, gjør vi beregninger i parentes, og deretter gjenværende handlinger i samme rekkefølge fra venstre til høyre.

Meget i praktiske beregninger for forenkling av beregninger bruker klare tabeller av grader.

Forklar hvordan du finner kraften til et nummer

Spar tid og ikke se annonser med Knowledge Plus

Spar tid og ikke se annonser med Knowledge Plus

Svaret

Svaret er gitt

19kot

Koble Knowledge Plus for å få tilgang til alle svarene. Raskt uten reklame og pauser!

Ikke gå glipp av det viktige - koble Knowledge Plus til å se svaret akkurat nå.

Se videoen for å få tilgang til svaret

Å nei!
Response Views er over

Koble Knowledge Plus for å få tilgang til alle svarene. Raskt uten reklame og pauser!

Ikke gå glipp av det viktige - koble Knowledge Plus til å se svaret akkurat nå.

Se videoen for å få tilgang til svaret

Å nei!
Response Views er over

• kommentarer
• Merk brudd

Svaret

Svaret er gitt

Nadirka212

Den mest fornuftige tingen er å dekomponere et tall i primære faktorer, da kan du finne både basen og eksponenten.
Hvis basen er kjent, kan indikatoren bli funnet ved logaritmisering, for eksempel,
2 ^ x = 8
For å finne x, må du telle begge deler av basen 2
x = logg inn base 2 fra 8 = ln 8 / ln 2 (dette kan beregnes på kalkulatoren) = 3
Hvis indikatoren er kjent, blir basen funnet ved å trekke ut roten, for eksempel,
x ^ 3 = 8
trekk ut den kubiske roten fra begge deler
x = kubisk rot på 8 = 2

Hvis ingen av dem kjenner den ene eller den andre, dekomponerer et tall til primære faktorer, dette gjøres ved å dividere tallet suksessivt i primefaktorer
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 er ikke delelig med 2, med 3, med 5 (successivt iterate over primtal)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Totalt deler vi divisjonen med 2 åtte ganger og 7 fire ganger derfor
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Hvis vi ønsker å finne en representasjon i skjemaet, må a ^ b med naturlig a og b og b være maksimal, så som b må vi ta GCD av grader oppnådd i dekomponeringen til primære faktorer, det vil si i dette tilfellet b = GCD (8.4) = 4
basen av grad a vil være 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Graden og dens egenskaper. Det opprinnelige nivået.

Graden er et uttrykk for skjemaet: hvor:

Grad med heltall

graden av som er et naturlig tall (dvs. heltal og positiv).

Grad med en rasjonell indikator

graden av som er negativ og brøkdelte tall.

Grad med en irrasjonell eksponent

grad hvis eksponent er en uendelig desimalfraksjon eller rot.

Egenskaper av grader

Egenskaper av grader.

• Et negativt tall oppdratt til en jevn strøm er et positivt tall.
• Et negativt tall oppdratt til en oddetall er et negativt tall.
• Et positivt tall til en viss grad er et positivt tall.
• Null er lik alle grader.
• Et hvilket som helst tall er null grad.

Hva er kraften til nummeret?

Eksponering er den samme matematiske operasjonen som tillegg, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå vil jeg forklare alt på menneskelig språk med svært enkle eksempler. Vær oppmerksom. Eksempler er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss begynne med tillegget.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: det er åtte av oss. Hver har to flasker cola. Hvor mye er cola? Det er riktig - 16 flasker.

Nå multipliserer.

Det samme eksemplet med koks kan skrives annerledes :. Matematikere er listige og dovne mennesker. De merker først på noen mønstre, og så kommer en måte å raskt "telle" på dem. I vårt tilfelle la de merke til at hver av åtte personer hadde samme antall flasker cola og kom opp med en enhet som heter multiplikasjon. Innrømme at det anses enklere og raskere enn.

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.
Så, for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske multiplikasjonstabellen. Selvfølgelig kan du gjøre alt tregere, vanskeligere og med feil! Men...

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, vakrere:

Hvilke andre smarte triks av kontoen ble oppfunnet av lat matematikere? Riktig - innføringen av nummeret i graden.

Å heve et nummer til en kraft.

Hvis du må formere tallet i seg selv fem ganger, så sier matematikerne at du må bygge dette nummeret i femte grad. For eksempel,. Matematikere husker at to til femte grad er dette. Og løse slike puslespill i tankene - raskere, enklere og uten feil.

For å gjøre dette, bare husk hva som er uthevet i fargen i tabellen med grader av tall. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye lettere.

Forresten, hvorfor er den andre graden kalt kvadratet av et tall, og den tredje - kuben? Hva betyr dette? Veldig bra spørsmål. Nå vil du ha firkanter og kuber.

Et eksempel fra livet til №1.

La oss starte med et firkant eller et annet graderummer.

Tenk deg et kvadratmeter målemålere etter meter. Bassenget er i din dacha. Varme og virkelig ønsker å svømme. Men... et basseng uten bunn! Det er nødvendig å legge bunnen av bassenget fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å avgjøre dette må du vite området på bunnen av bassenget.

Du kan bare telle, peke en finger, at bunnen av bassenget består av kuber av meter per meter. Hvis du har en fliser meter etter meter, vil du trenge stykker. Det er enkelt... Men hvor så du en slik flis? Flisen vil være mer sannsynlig å se cm. Og så blir du plaget av "fingeren". Da må du multiplisere. Så, på den ene siden av bassengbunnen, passer vi til fliser og på den andre også fliser. Multiplikasjon av, du får fliser ().

Har du lagt merke til at for å bestemme arealet av bassengbunnen, multipliserte vi det samme nummeret av seg selv? Hva betyr dette? Når samme nummer er multiplisert, kan vi bruke "eksponering" -teknikken. (Selvfølgelig, når du bare har to tall, multipliserer du dem stadig eller øker dem til en kraft. Men hvis du har mange av dem, er det mye enklere å øke dem, og beregningsfeilene er også mindre. For Unified State Exam er dette veldig viktig).
Så vil tretti til annen grad være (). Eller du kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord kan den andre graden av et nummer alltid bli representert som et torg. Omvendt, hvis du ser en firkant, er det alltid den andre kraften til et visst tall. En firkant er et andre graders bilde av et tall.

Et eksempel fra livet til №2.

Her er en oppgave for deg, beregne hvor mange firkanter på et sjakkbrett ved hjelp av en firkant av et tall. På den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne nummeret ditt, trenger du åtte ganger åtte eller... hvis du merker at et sjakkbrett er et firkant med en side, så kan du bygge åtte firkanter. Få en celle. () Så?

Et eksempel fra livet til nummer 3.

Nå terningen eller den tredje kraften til et nummer. Samme basseng. Men nå må du vite hvor mye vann du må hælde inn i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volum og væsker, forresten, måles i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: bunnen er en meter i størrelse og en meter dyp, og prøv å beregne hvor mange kuber i meter til meter vil gå inn i bassenget.

Bare pek fingeren og telle! En, to, tre, fire... tjuefem, tjuefem... Hvor mye skjedde det? Ikke ute Er det vanskelig å telle med en finger? Det er det! Ta eksempel på matematikere. De er lat, så de la merke til at for å kunne beregne volumet av bassenget, er det nødvendig å formere hverandre lengde, bredde og høyde. I vårt tilfelle vil bassengvolumet være lik kuber... Er det lettere, ikke sant?

Og forestill deg nå hvordan matematikere er lat og listige, hvis de forenklet det også. Brakt alt til en enkelt handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at det samme tallet multiplisert med seg selv... Og hva betyr dette? Dette betyr at du kan bruke graden. Så, hva du en gang regnet som en finger, gjør de i en handling: tre i en terning er like. Det er skrevet på denne måten :.

Det er bare å huske bordet av grader. Hvis du selvfølgelig er så lat og listig som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for å endelig overbevise deg om at grader ble oppfunnet av quitters og bedragere for å løse sine livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er noen flere eksempler fra livet.

Et eksempel fra livet til №4.

Du har en million rubler. I begynnelsen av hvert år tjener du på hver million en million. Det vil si at hver million i begynnelsen av hvert år blir doblet. Hvor mye penger vil du ha i år? Hvis du sitter og "teller en finger", så er du en veldig hardt arbeidende person og... dum. Men mest sannsynlig vil du gi et svar om et par sekunder, fordi du er smart! Så i det første året - to ganger to... i det andre året - hva skjedde, av en annen to, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg en gang. Så to til femte grad - en million! Forestill deg nå at du har en konkurranse, og de som mottar millionen, blir raskere å beregne... Det er verdt å huske graden av tallene, hvordan tror du?

Et eksempel fra livnummer 5.

Du har en million. I begynnelsen av hvert år tjener du på hver million to flere. Wow, egentlig? Hver million tripler. Hvor mye penger vil du ha i et år? La oss telle. Det første året er å formere seg, da er resultatet fortsatt av... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganger det multipliserer av seg selv. Så i fjerde grad er lik en million. Du må bare huske at tre til fjerde grad er eller.

Nå vet du at ved hjelp av å heve et tall til en kraft, vil du i stor grad legge til rette for livet ditt. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Vilkår og konsepter.

Så la oss starte med å definere konsepter. Hva tror du er eksponenten? Det er veldig enkelt - dette er tallet som er "på toppen" av kraften til nummeret. Ikke vitenskapelig, men forståelig og lett å huske...

Så på samme tid, hva er grunnlaget for graden? Enda enklere er nummeret nederst, nederst.

Her er et bilde for din lojalitet.

Vel, generelt, å oppsummere og bedre huske... Graden med basen " og indikatoren " er lest som "til graden" og er skrevet som følger:

Videre, hvorfor si "graden av tall med en naturlig indikator"?

"Graden av tall med en naturlig indikator"

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er et naturlig tall? Elementary! Naturlige tall er de som brukes i kontoen når du lister elementer: en, to, tre... Når vi teller elementer, sier vi ikke: "minus fem", "minus seks", "minus syv". Vi sier heller ikke: "en tredjedel" eller "nullpunkt, fem tiendedeler". Disse er ikke naturlige tall. Og hva er disse tallene som du tror?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til heltall tall. Vanligvis inkluderer hele tallene alle naturlige tall, tall motsatt til naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn), og et tall. Null er lett å forstå - dette er når det ikke er noe. Og hva betyr negative ("negative") tall? Men de ble oppfunnet først og fremst for å betegne gjeld: Hvis du har en balanse på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatørrørene.

Fraksjoner av noe slag er rasjonelle tall. Hvordan kom de til, hva tror du? Veldig enkelt. For tusen år siden oppdaget våre forfedre at de mangler naturlige tall for å måle lengde, vekt, areal etc. Og de kom opp med rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?

Det er fortsatt irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, uendelig desimal. For eksempel, hvis omkretsen er delt med diameteren, oppnås et irrasjonelt nummer.

Oppsummering:

• Naturlige tall er tallene som brukes ved telling, det vil si osv.
• Heltall - alle naturlige tall, naturlige tall med minus og tallet 0.
• Brøknummer betraktes som rasjonelle.
• Irrasjonelle tall er uendelige decimaler

Grad med en naturlig indikator

La oss definere begrepet en grad hvis indeks er et naturlig tall (dvs. heltal og positiv).

1. Enhver tall i første grad er lik selv:
2. Å firkantet et tall er å formere det i seg selv:
3. Å bygge et tall i en terning betyr å formere det selv tre ganger:

Definisjon. Å heve et tall til den naturlige graden betyr å multiplisere nummeret i seg selv igjen:
.

Nummergrad: definisjoner, betegnelse, eksempler

I rammen av dette materialet analyserer vi hvilken grad av tallet. I tillegg til de grunnleggende definisjonene formulerer vi hva som er en grad med naturlige, helhetlige, rasjonelle og irrasjonelle indikatorer. Som alltid vil alle konsepter bli illustrert med eksempler på oppgaver.

Grader med naturlige eksponenter: konseptet av en firkant og en kube av et tall

Først formulerer vi en grunnleggende definisjon av en grad med en naturlig indeks. For dette må vi huske de grunnleggende reglene for multiplikasjon. La oss forklare på forhånd at som base vil vi for øyeblikket ta et reelt tall (betegnet med bokstaven a), og som en indikator, et naturlig tall (betegnet med bokstaven n).

Graden av a med en naturlig indeks n er produktet av n-tallet av faktorer, som hver er lik tallet a. Graden er skrevet slik: en n, og i form av en formel, kan sammensetningen representeres som følger:

For eksempel, hvis eksponenten er 1 og basen er a, så er den første effekten av a skrevet som en 1. Med tanke på at a er verdien av en multiplikator, og 1 er antallet multiplikatorer, kan vi konkludere at en 1 = a.

Generelt kan det sies at graden er en praktisk form for opptak av et stort antall like faktorer. Dermed kan posttypen 8 · 8 · 8 · 8 reduseres til 8 4. Omtrent det samme arbeidet hjelper oss å unngå å skrive et stort antall vilkår (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Vi har allerede analysert dette i artikkelen viet til multiplikasjon av naturlige tall.

Hvordan leser du posten av graden? Det generelt aksepterte alternativet er "a til kraften til n". Eller du kan si "n-graden en" eller "en n-grad". Hvis det i eksempelet vi har møtt posten 8 12, kan vi lese "8 til 12. grad", "8 til graden 12" eller "12. til 8.".

Den andre og tredje gradenummer har sine veletablerte navn: kvadrat og terning. Hvis vi ser en annen grad, for eksempel tallet 7 (7 2), så kan vi si "7 kvadret" eller "kvadrat av tallet 7". På samme måte leser den tredje graden slik: 5 3 er "kuben av tallet 5" eller "5 i kuben." Det er imidlertid også mulig å bruke standard ordlyden "i andre / tredje grad", det vil ikke være en feil.

La oss undersøke et eksempel på en grad med en naturlig indikator: for 5 7 vil de fem være basen, og de syv - indikatoren.

Basen trenger ikke å være et heltall: for graden (4, 32) 9, vil basen være en brøkdel av 4, 32, og indikatoren vil være ni. Vær oppmerksom på brakettene: En slik oppføring er laget for alle grader hvis baser er forskjellige fra de naturlige tallene.

For eksempel: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Hva er parentesene for? De hjelper til med å unngå feil i beregninger. La oss si at vi har to oppføringer: (- 2) 3 og - 2 3. Den første av disse betyr et negativt tall minus to, hevet til en kraft med en naturlig indeks på tre; den andre er tallet som tilsvarer motsatt verdi av grad 2 3.

Noen ganger i bøker kan man komme over en litt annen stavemåte av kraften til et tall - a ^ n (hvor a er basen og n er indikatoren). Det vil si at 4 ^ 9 er det samme som 4 9. Hvis n er et multivalent nummer, blir det tatt i parentes. For eksempel, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Men vi vil bruke notasjonen en n som mer vanlig.

Hvordan å beregne verdien av en grad med en naturlig indeks er lett å gjette fra sin definisjon: du trenger bare å multiplisere en n antall ganger. Mer om dette skrev vi i en annen artikkel.

Konseptet av en grad er motsatt av et annet matematisk konsept - roten til et tall. Hvis vi vet verdien av graden og eksponenten, kan vi beregne grunnlaget. Graden har noen spesifikke egenskaper som er nyttige for å løse problemer som vi har demontert i et eget materiale.

Hva er en grad med en hel indikator

Når det gjelder grader, kan det ikke bare være naturlige tall, men generelt noen heltallverdier, inkludert negative og nuller, fordi de også tilhører settet av heltall.

Graden av et tall med et positivt heltall kan vises som en formel :.

Dessuten er n et positivt heltall.

Vi vil forstå begrepet nullgrad. For å gjøre dette bruker vi en tilnærming som tar hensyn til egenskapen til det spesielle for krefter med like utgangspunkt. Det er formulert som følger:

Likestilling en m: n n = a m - n er sant under betingelsene: m og n er naturlige tall, m n, a ≠ 0.

Den sistnevnte tilstanden er viktig fordi den unngår divisjon med null. Hvis verdiene til m og n er like, får vi følgende resultat: a n: a n = a n - n = a 0

Men samtidig er et n: n n = 1 kvoten av like tall a n og a. Det viser seg at nullkraften til et hvilket som helst nullnummer er en.

Dette beviset gjelder imidlertid ikke for null til null grad. For dette trenger vi en annen egenskap av grader - en egenskap av produkter av grader med like baser. Det ser slik ut: en m · a n = a m + n.

Hvis n er 0, så viser en m · a 0 = a m (denne likestillingen oss også at en 0 = 1). Men om og også er null, tar likestilling oss form 0 m · 0 0 = 0 m. Det vil være sant for enhver naturlig verdi av n, og det spiller ingen rolle hva verdien av graden er 0 0, det vil si det kan være lik alle tall og det vil ikke påvirke likestillingens lojalitet. Derfor har en oversikt over skjemaet 0 0 ikke sin egen spesielle betydning, og vi vil ikke tilordne den til den.

Hvis det er ønskelig, er det enkelt å verifisere at en 0 = 1 konvergerer med egenskapen til graden (a m) n = a m nn, forutsatt at graden av graden er null. Dermed er graden av et hvilket som helst nullnummer med null eksponent en.

La oss undersøke et eksempel med konkrete tall: Således er 5 0 en enhet, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, og verdien 0 0 er ikke definert.

Etter nullgraden forblir det for oss å finne ut hva graden er negativ. For dette trenger vi samme egenskap for produktet av grader med like baser, som vi allerede har brukt ovenfor: en m · a n = a m + n.

Vi introduserer tilstanden: m = - n, da a bør ikke være null. Herfra følger at a - n n = a - n + n = a 0 = 1. Det viser seg at en n og a - n er gjensidig inverse tall.

Som et resultat er en i hele negativgraden ingen annen enn fraksjonen 1 a n.

En slik formulering bekrefter at i en grad med en helt negativ indeks er alle de samme egenskapene som en grad med en naturlig indeks (under forutsetning av at basen ikke er null) gyldig.

Graden av a med et negativt heltall n kan representeres som en brøkdel 1 a n. Således er a - n = 1 a n under betingelsen a ≠ 0 og n noe positivt heltall.

Vi illustrerer vår tanke med konkrete eksempler:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4 2) - 5 = 1 (- 4 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

I siste del av avsnittet vil vi prøve å skildre alt sagt tydelig i en formel:

Graden av a med en naturlig indeks z er: az = az, e med l og z er heltallet av en l og z er 0 og z = 0 og en ≠ 0, (p p p og z = 0 og a = 0 p o l c e s i 0 0, noe som betyr en v a r oo o 0 n e O p e f eld i s) 1 a, e s c og z er en cel o e r a c t a l a n o e h a s a l o a ≠ 0 ( e sl og z - er heltallet av serien og a = 0 uendelig med i 0 z, ego om N ote o p o d ia e c s i)

Hva er en rasjonell eksponent?

Vi har behandlet saker der et heltall er i eksponenten. Det er imidlertid mulig å hente et tall til en strøm selv når et brøknummer er i indeksen. Dette kalles en rasjonell eksponent. På dette tidspunktet viser vi at den har samme egenskaper som andre grader.

Hva er rasjonelle tall? Settet deres inneholder både hele og brøkdelte tall, mens fraksjonelle tall kan representeres som vanlige fraksjoner (både positive og negative). Vi formulerer definisjonen av graden av a med en brøkdeleksponent m / n, hvor n er et positivt heltall og m er et heltall.

Vi har en viss grad med en fraksjonal eksponent a m n. For at egenskapen av grad til grad skal holdes, må likestillingen a m n n = a m n · n = a m være sant.

Med hensyn til definisjonen av roten til n-graden, og at en m n n = a m, kan vi akseptere tilstanden a m n = a m n hvis en m n gir mening ved gitt verdier av m, n og a.

Ovennevnte egenskaper av graden med et heltall vil være sanne under betingelsen a m n = a m n.

Hovedkonklusjonen fra vår begrunnelse er som følger: graden av et bestemt tall a med en brøkdel eksponent m / n er roten til nde graden fra tall a til grad m. Dette er sant hvis uttrykket a m n beholder sin betydning for gitt verdier av m, n og a.

Deretter må vi avgjøre nøyaktig hvilke restriksjoner på verdiene av variabler som pålegger en slik tilstand. Det er to tilnærminger for å løse dette problemet.

1. Vi kan begrense verdien av grunnlaget for graden: vi tar en, som for positive verdier av m vil være større enn eller lik 0, og for negative verdier, strengt mindre (siden for m ≤ 0 får vi 0 m, og denne graden er ikke definert). I dette tilfellet vil bestemmelsen av graden med en brøkdel være som følger:

En grad med en fraksjonal eksponent m / n for noen positive tall a er den nte roten av en hevet til kraften til m. I form av en formel kan dette representeres som:

For en grad med nullbase er denne stillingen også egnet, men bare hvis indeksen er et positivt tall.

En grad med nullbase og en brøkdel positiv m / n kan uttrykkes som

0 m n = 0 m n = 0 under betingelse av en hel positiv m og en naturlig n.

Med et negativt forhold mn 0, er graden ikke bestemt, dvs. En slik oversikt gir ikke mening.

Merk ett punkt. Siden vi har innført betingelsen om at a er større enn eller lik null, har vi falt noen tilfeller.

Uttrykket a m n er noen ganger fortsatt fornuftig for noen negative verdier av a og noen m. Så er oppføringene (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 korrekte, hvor basen er negativ.

2. Den andre tilnærmingen er å vurdere hverandre roten a m n med jevne og odde indekser. Da må vi innføre en ny betingelse: graden a, i indeksen som den reduserte brøkjonen er verdt, betraktes som graden av a, i indeksen er den tilsvarende irredusible brøkdel som svarer til den. Senere vil vi forklare hvorfor denne tilstanden er for oss og hvorfor det er så viktig. Dermed, hvis vi har rekordet en mk k, kan vi redusere det til en m n og forenkle beregningene.

Hvis n er et oddetall og m er positivt, er a et hvilket som helst ikke-negativt tall, så er et mn fornuftig. Tilstanden for nonnegative a er nødvendig, siden roten til en jevn kraft ikke er hentet fra et negativt tall. Hvis verdien av m er positiv, kan a være både negativ og null siden Ulike grad rot kan hentes fra et hvilket som helst reelt tall.

Kombiner alle dataene ovenfor definisjoner i en plate:

Her betyr m / n en irreducible fraksjon, m er noe heltall, og n er et positivt heltall.

For noen vanlig redusert fraksjon m · k n · k, kan graden erstattes av en m n.

Graden av tallet a med en irreducible fraksjonalindeks m / n kan uttrykkes som et mn i følgende tilfeller: - for noen reelle a, positive heltallverdier av m og ulige naturlige verdier av n. Eksempel: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- for noen ikke-ekte a, heltall negative verdier av m og odde verdier på n, for eksempel 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- for noen ikke-negative a, heltal positive verdier av m og like n, for eksempel 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- for eventuelle positive a, heltall negative m og jevn n, for eksempel 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

I tilfelle av andre verdier er graden med en fraksjonal eksponent ikke definert. Eksempler på slike grader: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

La oss nå forklare betydningen av tilstanden som ble nevnt ovenfor: hvorfor erstatte en brøkdel med en redusert indeks med en brøkdel med en irreducible fraksjon. Hvis vi ikke ville gjøre dette, ville vi ha slike situasjoner, si 6/10 = 3/5. Da skal det være sant (- 1) 6 10 = - 1 3 5, men - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 og (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Bestemmelse av graden med en brøkdel, som vi citerte først, er mer praktisk å sette i bruk enn den andre, derfor vil vi bruke den videre.

Således er graden av et positivt tall a med en brøkdel indeks m / n definert som 0 m n = 0 m n = 0. I tilfelle av negativ a, er innføringen a mn ikke fornuftig. Graden av null for positive fraksjonelle indikatorer m / n er definert som 0 m n = 0 m n = 0, for negative fraksjonelle indikatorer vi definerer ikke graden av null.

I konklusjonene bemerker vi at vi kan skrive noen fraksjonsindeks både i form av et blandet tall og i form av en desimalfraksjon: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Ved beregning er det bedre å erstatte eksponenten med en vanlig fraksjon og deretter bruke definisjonen av eksponenten med en brøkdeleksponent. For eksemplene ovenfor får vi:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Hva er en grad med en irrasjonell og gyldig indikator

Hva er ekte tall? Deres sett inneholder både rasjonelle og irrasjonelle tall. Derfor, for å forstå hva en grad er med en gyldig indikator, må vi definere grader med rasjonelle og irrasjonelle indikatorer. Om rasjonell har vi allerede nevnt ovenfor. Vi vil håndtere irrasjonelle indikatorer trinnvis.

Anta at vi har et irrasjonelt tall a og en sekvens av dens desimale tilnærminger a 0, a 1, a 2,.... For eksempel, ta verdien a = 1, 67175331... deretter

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., en 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, en 2 = 1, 671753,...

og så videre (med tilnærmingene selv er rasjonelle tall).

Sekvenser av tilnærminger vi kan knytte en sekvens av grader a a 0, a a 1, a a 2,.... Hvis vi husker at vi tidligere fortalte om å øke tallene i en rasjonell grad, så kan vi beregne verdiene til disse grader oss selv.

Ta for eksempel a = 3, deretter a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,... og så videre

Sekvensen av grader kan reduseres til et tall, som vil være verdien av grad c med basis a og irrasjonell indeks a. Sammendrag: En grad med en irrasjonell indeks på skjemaet 3 1, 67175331.. kan reduseres til antall 6, 27.

Graden av et positivt tall a med en irrasjonell eksponent a er skrevet som a. Dens verdi er grensen til sekvensen a a 0, a a 1, a a 2,... hvor en 0, a 1, a 2,... er påfølgende desimale tilnærminger til irrasjonsnummeret a. En nullbasisgrad kan også defineres for positive irrasjonelle indikatorer, med 0 a = 0 Således, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Og for negative kan dette ikke gjøres, for eksempel er verdien 0 - 5, 0 - 2 π ikke definert. En enhet hevet til en hvilken som helst irrasjonell grad forblir en enhet, for eksempel, og 1 2, 1 5 til 2, og 1-5 vil være lik 1.